CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Iniciamos nossa aula recordando os conjuntos e operações básicas.

O conjunto dos números inteiros, que a partir de agora vamos chamá-lo de conjunto Z = {...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3...}, é um conjunto que possui uma quantidade infinita de elementos.

Podemos representar numa reta chamada de “r”:
                                                                                                     r
                                                     _______________________

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Alguns autores fazem a seguinte designação em cima do conjunto Z:

Conjunto N: é o conjunto dos números inteiros positivos. N = {...0, +1, +2, +3...}.

Conjunto N*: é o conjunto dos números inteiros positivos, sem o número zero.

N* = {...+1, +2, +3...}.

Números Simétricos

Dado um número inteiro qualquer “x”, podemos associar a ele outro número inteiro, escrevendo “-x”, que é seu oposto ou simétrico.

Exemplos

O simétrico de 7 é: -7
O simétrico de -340 é: 340

Numa reta numérica, um número inteiro e seu oposto estão situados em pontos à mesma distância do zero, ou seja, os números simétricos são equidistantes.

MATEMÁTICA: FUNDAMENTOS BÁSICOS

                                                                                       r

_______

-2 0 +2

Valor Absoluto de Um Número Inteiro

É o valor do número, independente do seu sinal. A todo número relativo, faz-se corresponder um número positivo ou nulo, denominado valor absoluto ou módulo. Usamos duas barras para indicá-lo.

Exemplos

|+4| = 4
|-8| = 8
| 0 | = 0

Regra do Produto de Sinais

Observe os exemplos abaixo:

+ 2 . + 5 = + 10
tenho dois créditos de cinco; ou seja tenho 10

+ 3. - 4 = - 12
tenho três débitos de quatro; ou seja devo 12

- 2. + 7 = - 14
o oposto de dois créditos de sete; ou seja devo 14

- 3. - 6 = + 18
o oposto de três dívidas de 6; ou seja tenho 18

Generalizando:

Já vimos que existem números positivos e números negativos. Antes de entrarmos no tópico “operações”, vamos recordar esta regra importantíssima:

(+) × (+) = (+)
(+) × (–) = (–)
(–) × (–) = (+)
(–) × (+) = (–)

Exemplos

(-3) × (-2) = +6
(-5) × (+9) = -45
(+8) × (+5) = +40

Operações com Números Inteiros

Adição

1º Caso - adição de números positivos:

É um número positivo, cujo valor absoluto é igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo

(+5) + (+6) = +11

+5 é a 1ª parcela
+6 é a 2ª Parcela
+11 é chamado “soma”

2º Caso - adição de números negativos:

É um número negativo, cujo valor absoluto é igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo

(–5) + (–6) = –11

3º Caso - adição de números de sinais contrários:

É um número que tem para valor absoluto a diferença entre os valores absolutos das parcelas. O sinal do resultado é igual ao sinal da parcela de maior valor absoluto. Quando aprendemos isso pela primeira vez, falávamos:

diminui um do outro e conservamos o sinal do maior.

Exemplos

(–9) + (+6) = –3
(+7) + (–2) = +5

Subtração

Para subtrair dois números, somamos ao primeiro o simétrico do segundo.

Exemplos

(–9) – (–6) = –3
–4 + (+6) = +2
(+7) – (+8) = +7 –8 = –1

+7 = é chamado de “minuendo”
+8 = é chamado de “subtraendo”
–1 = é chamado de “resto” ou “diferença”.

Multiplicação

Aplicando a regra do produto de sinais, temos: quando os sinais forem iguais, o produto será positivo; ao contrário, quando os sinais dos números forem diferentes, teremos um resultado negativo.

Exemplos

(+9) × (+6) = +54
(–9) × (–6) = +54

–9 e –6 = são chamados de “fatores”
+54 = é chamado de “produto”

Divisão

A divisão é a operação inversa da multiplicação, e vale também para a divisão a regra do produto.

Exemplos

(+9) ÷ (+3) = +3
(+18) ÷ (–9) = –2
(–36) ÷ (–4) = +9

–36 = é chamado de “dividendo”
–4 = é chamado de “divisor”
+9 = é chamado de “quociente”

Hierarquia Natural das Operações

Fazer contas isoladamente, quero dizer, somente contas de multiplicar, ou dividir, ou somar, chega a ser bem fácil. Entretanto, quando juntamos todas essas operações, o exercício torna-se bem mais trabalhoso.

Na matemática, quando realizamos exercícios com todas essas operações, soma, subtração, etc., temos uma regra de extrema importância chamada Hierarquia Natural das Operações. E, se não obedecermos religiosamente a essas regras que adiante vamos descrever, fatalmente vamos errar.

Hierarquia Natural:

Regra 1: Realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão (na sequência em que aparecem). Feito isso, podemos passar para a regra dois.

Regra 2: Realizamos as operações de soma e subtração.

Quando queremos quebrar essa ORDEM, utilizamos e resolvemos as expressões numéricas, em primeiro lugar os parênteses ( ), depois os colchetes [ ], e por fim as chaves { }.

Exemplo

24 + 12 ÷ 4

Solução ERRADA!

24 + 12 igual a 36 dividido por 4 é igual 9.

Solução CORRETA!

Aplicando a Regra da Hierarquia Natural, primeiro realizamos 12 dividido por 4, que é igual a 3 que, somando-se a 24, teremos o resultado 27. Entretanto, se eu quero quebrar a Hierarquia Natural, uso as chaves, colchetes e parênteses, ficando assim:

(24 + 12) ÷ 4

Obrigatoriamente tenho que resolver o que está dentro dos parênteses, cujo resultado será 36 que, em seguida, será dividido por 4 e obteremos 9.

Exercícios Resolvidos

1) Calcular o valor da expressão: (1 – 3) . (– 2 + 7) + 40 ÷ (– 8 – 2)

1º Efetuam-se as operações dentro dos parênteses: (–2) . (+5) + 40 ÷ (–10)

2º Efetuam-se as multiplicações e divisões: –10 + (– 4)

3º Finalmente efetua-se a adição: – 14

2) Calcular o valor da expressão:

10 + { - 2 + [ 10 . (- 4 + 2 ) ] + [ 10 : ( 5 - 3 ) - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ 10 . (- 2 ) ] + [ 10 : ( + 2 ) - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + [ + 5 - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + [ - 3 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + (+ 18 ) }
10 + { - 22 + 18 }
10 + { - 4 }
10 - 4
6

ESPERO QUE TENHA SIDO PROVEITOSO! BONS ESTUDOS!

Fonte: www.unimesvirtual.br