VÍDEO AULA - Potenciação

EXERCÍCIO RESOLVIDO

(UNIMES 2015) - Dados os complexos w = 5 + 3i e t = 2 - 7i podemos dizer que w + t vale:

a) 6 + 4i

b) 3 - 2i

c) 7 - 4i

d) 1 + 3i

Resolução:

5 + 3i + 2 - 7i = 0

3i - 7i + 2 + 5 = 0

- 4i + 7

Letra C

CURIOSIDADES

POTENCIAÇÃO

Potenciação é um produto de fatores iguais à base, sendo tomados tantos fatores quanto for o expoente.

Exemplo:

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

2³ - o número 2 chamamos de “base” e o número 3 chamamos de “expoente”.

Casos

1º Caso: Expoente Positivo

2⁴  = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

(½)³ = ½ × ½ × ½ = 1/8

(-2)⁴ = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = 16

(– 2)³ = (– 2).(– 2).(– 2) = – 8

Perceberam que, quando a base é negativa, se ela for elevada a um expoente de número par, o resultado será sempre positivo; caso contrário, se for elevada a um expoente ímpar, o resultado será negativo.

2º Caso: Expoente Negativo

3-²  = 1/3² = 1/3 x 1/3 = 1/9

(-2)^-3  = 1/-2³ = 1/-2 x 1/-2 x 1/-2 = -1/8

Nos exemplos acima, percebam que a base se transforma em denominador inalterado, e na posição de denominador se eleva ao mesmo expoente, agora positivo.

Vamos pensar mais um pouco:

x^-3 = 1/x³

Esse “x” poderá ser um número inteiro ou fracionário, pois ele não se alterará. Guardem essa idéia: a base não se altera.

3º Caso: Expoente Zero

x⁰ = 1

Qualquer que seja o valor da base, o resultado será sempre igual a 1.

Propriedades da Potenciação

I. Para multiplicarem-se potências de mesma base, conserva-se a base, e somam-se os expoentes.

a^m . aⁿ =  a^m+n

(–2)² × (–2)³ = (-2)⁵ = -32

II. Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base, e subtraem-se os expoentes.

a^m : aⁿ =  a^m-n

4⁵ ÷ 4³ = 4² = 16

III. Para elevar-se uma potência a um novo expoente, conserva-se a base, e multiplicam-se os expoentes.

(a^m) ⁿ =  a^{m x n}

[(+3)²]³ = 3⁶

IV. Potência de um produto: eleva-se cada fator ao expoente do produto. 

(a.b.c)^m  =  a^m . b^m . c^m

V. Para se elevar uma fração a um dado expoente, eleva-se cada termo da fração a esse expoente.

(a/b)^m  =  a^m/b^m, sendo b≠0.

Até próxima!

Professora Danielle Cavalcante Soares.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Questão 2 (UNIMES 2015) - O número complexo z = 3√3  + 3i escrito na forma trigonométrica é:

a) z = 2 (cos/6 + i sen/6)
b) z = 3 (cos/6 + i sen/6)
c)  z = 5 (cos/6 + i sen/6)
d) z = 6 (cos/6 + i sen/6)

Resolução:

z = p (cosφ + i x senφ)
z = 3√3 + 3i
p² = (3√3)² + 3²
p² = 27 + 9
p = 6

cosφ = 3√3/6 = √3/2
φ = 30º = /6

senφ = 3/6 = 1/2
φ = 30º = /6

Resposta: z = 6(cos/6 + i sen/6) Letra D

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Questão 1 (UNIMES 2015) - O afixo do números complexo z = 5 - 6i está situado no:

a) Primeiro quadrante

b) Segundo quadrante

c) Terceiro quadrante

d) Quarto quadrante

Resolução:

O afixo do número complexo z = x + yi é o ponto da coordenada P = (x,y) no plano cartesiano. Para o número complexo desta questão, temos:

x = 5 e y = -6

Logo: quarto quadrante. Letra D.

Abraços,

Professora Danielle Cavalcante Soares.

AGENDA DO BLOG - MATEMÁTICA - AULA ON LINE

Segunda-feira: Conteúdo Teórico
Terça-feira: Curiosidades Matemáticas
Quarta-feira: Exercícios Resolvidos
Quinta-feira: Vídeo-aula
Sexta-feira: Acompanhamento
Sábado: Acompanhamento
Domingo: Questões Resolvidas

Todos os comentários serão respondidos diariamente.
Nos dias em que se tem acompanhamento poderão ser postados temas livres.

Abraços,

Professora Danielle Cavalcante Soares.

COMUNICADO

Bom dia meus queridos!

Para facilitar o acompanhamento dos visitantes e seguidores do blog Matemática - Aula On Line, resolvi criar uma agenda de postagens para que favoreça o acompanhamento das aulas. Espero que goste.

Abraços,

Professora Danielle Cavalcante Soares.

NÚMEROS DECIMAIS

Nesta aula veremos os Números Decimais e as Operações com Dízimas Periódicas.

Números decimais são números que não são inteiros e que possuem um número finito de casas após a vírgula. Em verdade, podemos transformar todo número decimal em uma fração, cujo denominador é uma potência de 10, e que o expoente indica quantas casas há depois da vírgula.

Exemplos:

0,3 = 3/10

Veja que este 10 está elevado a 1; logo, há uma casa após a vírgula.

Outro exemplo: 8,123 = 8123/1000 ou 8123/10³

Operações com Números Decimais

I. Adição e subtração de números decimais

Exemplo:

– 0,04 – 1,88 + 3,001 = -4/100 - 188/100 + 3001/1000 = 1,081

Nada impede que você opere diretamente.

II. Multiplicação e divisão de números decimais

Exemplo

0,27 × 0,5 = 27/100 x 5/10 = 135/1000 = 

3,6 ÷ 0,4 = 36/10 x 10/4 = 9

Dízimas Periódicas

A fração 1/3 pode ser escrita como 0,333..., pois 10 dividido por 3 é igual a 0,333333333..., e isto é uma dízima periódica. Como se vê, podemos definir a dízima periódica como um número decimal que apresenta infinitos algarismos após a vírgula e se repetem periodicamente, e a esta parte que se repete chamamos de período. Podemos representar as dízimas desta maneira:

0,33333...... indicamos

____

 0,3

0,474747... indicamos 0, 47

5,137777... indicamos 5,1377

Devemos, então, para efeito de um cálculo mais preciso, achar a sua fração geratriz:

Exemplo:

0,222

Seja:

x = 0,222...(1)

10x = 2,222...(2)

Fazendo (2) – (1) temos:

9x = 2, logo x = 2/9

e ela é a nossa fração geratriz.

Exercício Resolvido

1) Calcule a fração geratriz do número 0,1373737... ou 0,137 .

Designando por x = 0,137373737... vemos que o período é 37, e para deslocar a vírgula até ao período, devemos multiplicar x por 10:

10x = 1,37373737... (1)

Para deslocar a vírgula até ao próximo período, deve-se multiplicar a equação anterior (1) por 100:

1000x = 137,37373737.... (2)

Subtraindo (2) – (1) obtemos:

990x = 136, x = 136/990

x = 68/495

QUESTÃO RESOLVIDA

1) Delimite dois conceitos envolvidos na resolução desta questão.

2) Disserte a resolução deste problema.

Resolução

1) Algoritmo de Euclides, D=d.q+r, e propriedade comutativa da multiplicação.

2) Utilizando o Algoritmo de Euclides D=d.q+r, é possível resolver a questão, em que temos D=84765, d=4, q=21191 e r=1, ficando  84765=4.21191+1, porém antes de chegar a parte final, o aluno resolveu o problema da seguinte maneira: ele determinou um quociente q=21111 que multiplicado ao divisor d=4, resultando em um número 84444, cuja subtração do dividendo D=84765 pelo número 63666 resultasse em uma centena r=321, então novamente determinou um quociente q=80 que multiplicado ao divisor d=4, resultando em um número 320, cuja subtração do resto r= 321 pelo número 320, resultou no novo resto r=1, ao final o aluno realizou a soma dos dois quocientes encontrados 21111+80 resultando em um novo quociente q=21191 e resto r=1, ficando 84765=4.21191+1.

Resposta: o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto o conceito da operação divisão. (letra c)

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Nesta aula veremos os Números Fracionários, o Conjunto dos Números Racionais, a Classificação das Frações, o Número Misto, a Transformação de Fração Imprópria em Número Misto e vice-versa, a Simplificação de Frações, a Redução ao mesmo denominador e as operações com frações.

Números Fracionários

Entendemos como Números Fracionários aqueles números que estão na forma a/b, sendo a e b números inteiros, e b não nulo. Vamos chamar a de numerador e b de denominador.

Conjunto dos Números Fracionários

Vamos chamar de conjunto Q.

                                                                                                                Q

___________________________________

 -1   -3/4   -1/2   -1/4   0   1/4   1/2   3/4   1

Logo: Q = {a/b tal que a, b є Z, b ≠ O}

Devemos ter em mente que:

• Todo número inteiro é racional, uma vez que pode ser escrito na forma de uma fração, cujo denominador é a unidade. Logo Z С Q.
• Todo decimal pode ser escrito na forma de uma fração cujo denominador é uma potência de 10. Desta forma, todo decimal é racional.
• As dízimas periódicas também podem ser escritas na forma de fração; basta achar a fração geratriz. Então, toda dízima é racional.

Classificação das Frações

Veremos somente as principais:

Decimal: quando o denominador for 10 ou potência de 10.

Ex.: 3/10, 11/100

Própria: quando o numerador for menor que o denominador.

Ex.: 3/5, 5/8

Imprópria: quando o numerador for maior que o denominador.

Ex.: 7/5, 15/8

Aparentes: Elas representam números naturais.

Ex.: 10/5, 16/8

Número Misto

O número misto é um número formado por uma parte inteira e outra fracionária. O número misto é fruto de uma fração imprópria.

Ex.: 2 1/5, 3 1/7

Transformação de Fração Imprópria em Número Misto e Vice-Versa

I.Transformação de fração imprópria em número misto

• Divide-se o numerador pelo denominador.
• Quociente será a nova parte inteira.
• O resto será o novo numerador.
• O divisor será o novo denominador.

Exemplo: 14/3 será 4 2/3

14 : 3 = 4 resto 2

II. Transformação de número misto em fração imprópria

Para transformar qualquer número misto em fração imprópria, faremos o seguinte:

parte inteira × denominador + numerador = novo NUMERADOR

conserva-se o denominador do número misto.

Exemplo: 4 2/5 será 22/5

4 x 5 + 2 = 22, e a seguir conservamos o  denominador.

Simplificação de Frações

Simplificar frações é torná-las numa forma irredutível. Para isso, devemos achar o MDC entre o numerador e o denominador.

Exemplo

24/36, o MDC entre 24 e 36 é 12; logo, dividindo os números por 12, acharemos: 2/3.

Redução ao Mesmo Denominador

Quando queremos comparar frações uma com outra, nosso primeiro passo é reduzi-las ao mesmo denominador. Para isso, procedemos assim:

• Acha-se o MMC dos denominadores.
• Calcula-se o quociente do denominador comum pelo denominador de cada fração, multiplicando-o, a seguir, pelo numerador respectivo.

Exemplo

Reduzir ao mesmo denominador as frações: 2/3, 4/5 e 1/6

Solução:

a) O MMC entre 3; 5 e 6 será 30

b) 10 x 2/30; 6 x 4/30; 5 x 1/30 ou 20/30; 24/30; 5/30

Pelo visto acima, ao reduzir as frações ao mesmo denominador, colocamos num mesmo nível, permitindo, desta maneira, fazer comparações entre as mesmas. Assim, podemos dizer quem é a maior ou a menor:

4/5 > 2/3 > 1/6

Operações com Frações

I. Adição e subtração de frações

Podemos apresentar dois casos:

1º Caso: as frações têm o mesmo denominador.

Exemplo:  24/30 - 20/30 + 5/30 = 24 - 20 + 5/30 = 9/30

2º Caso: as frações não têm o mesmo denominador. Devemos reescrever com o denominador comum.

Exemplo: 1/2 - 3/5 + 1/4 = 10 - 12 + 5/20 = 3/20

Obs.: Tira-se o MMC de 2, 5 e 4 e transforma-se em um denominador comum. Ao se encontrar o MMC devemos dividí-lo pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador).

II. Multiplicação e divisão de frações

Multiplicação: multiplicamos os numeradores e os denominadores entre si.

3/5 x 2/3 = 6/15

Divisão: multiplicamos a 1ª fração pelo inverso da segunda.

2/3 : 3/5 = 2/3 x 5/3 = 10/9

Até a próxima aula!

Fonte: Unimes Virtual com algumas adaptações.

COMUNICADO

Boa tarde meus queridos seguidores e visitante do blog! Gostaria de receber sugestões e comentários de vocês para que possa melhorar o conteúdo do blog. Caso queiram, podem enviar dúvidas e questões para serem resolvidas. 

Estou ansiosa por receber o retorno de vocês.

Abraços carinhosos!

MOMENTO VALORIZAÇÃO DO PROFESSOR!

MÁXIMO DIVISOR COMUM

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.

D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Exemplo

Vamos determinar o MMC e o MDC entre os números 80 e 120.

MMC

80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 2⁴ * 5

120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3 * 5

MMC (80; 120) = 2⁴ * 3 * 5 = 240

MDC (80; 120) = 2³ * 5 = 40

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor múltiplo pertencente aos números fatorados. Vamos calcular o mínimo múltiplo comum aos números 4 e 5. Precisamos escrever os primeiros múltiplos de cada número:

Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40...}

Múltiplos de 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}

Observe nos múltiplos que o menor número referente a 4 e 5 é o 20. Portanto, o número 20 é o mínimo múltiplo comum procurado.

Existe uma regra prática que determina o mínimo múltiplo comum. Você somente precisa fatorar os números juntos. Veja:

Vamos determinar o mínimo múltiplo comum dos números 2, 4, 9.

O mmc entre os números será a multiplicação dos fatores primos: 2 x 2 x 3 x 3 = 36. MMC (2,4,9) = 36

Caso queira utilizar a outra forma de determinar o mmc, acompanhe a resolução:

Múltiplos de 2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44...}

Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68 ...}

Múltiplos de 9 = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...}


Vamos determinar o mínimo múltiplo comum entre os números (20, 15, 30).

Por Marcos Noé
Matemático
Equipe Escola Kids

VÍDEO AULA - Conjunto dos Números Inteiros

Vídeo Aula: explicação sobre Conjunto dos Números Inteiros.

VAMOS RELAXAR!

Fugindo um pouco do tema: especialmente maravilhoso!

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Iniciamos nossa aula recordando os conjuntos e operações básicas.

O conjunto dos números inteiros, que a partir de agora vamos chamá-lo de conjunto Z = {...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3...}, é um conjunto que possui uma quantidade infinita de elementos.

Podemos representar numa reta chamada de “r”:
                                                                                                     r
                                                     _______________________

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Alguns autores fazem a seguinte designação em cima do conjunto Z:

Conjunto N: é o conjunto dos números inteiros positivos. N = {...0, +1, +2, +3...}.

Conjunto N*: é o conjunto dos números inteiros positivos, sem o número zero.

N* = {...+1, +2, +3...}.

Números Simétricos

Dado um número inteiro qualquer “x”, podemos associar a ele outro número inteiro, escrevendo “-x”, que é seu oposto ou simétrico.

Exemplos

O simétrico de 7 é: -7
O simétrico de -340 é: 340

Numa reta numérica, um número inteiro e seu oposto estão situados em pontos à mesma distância do zero, ou seja, os números simétricos são equidistantes.

MATEMÁTICA: FUNDAMENTOS BÁSICOS

                                                                                       r

_______

-2 0 +2

Valor Absoluto de Um Número Inteiro

É o valor do número, independente do seu sinal. A todo número relativo, faz-se corresponder um número positivo ou nulo, denominado valor absoluto ou módulo. Usamos duas barras para indicá-lo.

Exemplos

|+4| = 4
|-8| = 8
| 0 | = 0

Regra do Produto de Sinais

Observe os exemplos abaixo:

+ 2 . + 5 = + 10
tenho dois créditos de cinco; ou seja tenho 10

+ 3. - 4 = - 12
tenho três débitos de quatro; ou seja devo 12

- 2. + 7 = - 14
o oposto de dois créditos de sete; ou seja devo 14

- 3. - 6 = + 18
o oposto de três dívidas de 6; ou seja tenho 18

Generalizando:

Já vimos que existem números positivos e números negativos. Antes de entrarmos no tópico “operações”, vamos recordar esta regra importantíssima:

(+) × (+) = (+)
(+) × (–) = (–)
(–) × (–) = (+)
(–) × (+) = (–)

Exemplos

(-3) × (-2) = +6
(-5) × (+9) = -45
(+8) × (+5) = +40

Operações com Números Inteiros

Adição

1º Caso - adição de números positivos:

É um número positivo, cujo valor absoluto é igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo

(+5) + (+6) = +11

+5 é a 1ª parcela
+6 é a 2ª Parcela
+11 é chamado “soma”

2º Caso - adição de números negativos:

É um número negativo, cujo valor absoluto é igual à soma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo

(–5) + (–6) = –11

3º Caso - adição de números de sinais contrários:

É um número que tem para valor absoluto a diferença entre os valores absolutos das parcelas. O sinal do resultado é igual ao sinal da parcela de maior valor absoluto. Quando aprendemos isso pela primeira vez, falávamos:

diminui um do outro e conservamos o sinal do maior.

Exemplos

(–9) + (+6) = –3
(+7) + (–2) = +5

Subtração

Para subtrair dois números, somamos ao primeiro o simétrico do segundo.

Exemplos

(–9) – (–6) = –3
–4 + (+6) = +2
(+7) – (+8) = +7 –8 = –1

+7 = é chamado de “minuendo”
+8 = é chamado de “subtraendo”
–1 = é chamado de “resto” ou “diferença”.

Multiplicação

Aplicando a regra do produto de sinais, temos: quando os sinais forem iguais, o produto será positivo; ao contrário, quando os sinais dos números forem diferentes, teremos um resultado negativo.

Exemplos

(+9) × (+6) = +54
(–9) × (–6) = +54

–9 e –6 = são chamados de “fatores”
+54 = é chamado de “produto”

Divisão

A divisão é a operação inversa da multiplicação, e vale também para a divisão a regra do produto.

Exemplos

(+9) ÷ (+3) = +3
(+18) ÷ (–9) = –2
(–36) ÷ (–4) = +9

–36 = é chamado de “dividendo”
–4 = é chamado de “divisor”
+9 = é chamado de “quociente”

Hierarquia Natural das Operações

Fazer contas isoladamente, quero dizer, somente contas de multiplicar, ou dividir, ou somar, chega a ser bem fácil. Entretanto, quando juntamos todas essas operações, o exercício torna-se bem mais trabalhoso.

Na matemática, quando realizamos exercícios com todas essas operações, soma, subtração, etc., temos uma regra de extrema importância chamada Hierarquia Natural das Operações. E, se não obedecermos religiosamente a essas regras que adiante vamos descrever, fatalmente vamos errar.

Hierarquia Natural:

Regra 1: Realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão (na sequência em que aparecem). Feito isso, podemos passar para a regra dois.

Regra 2: Realizamos as operações de soma e subtração.

Quando queremos quebrar essa ORDEM, utilizamos e resolvemos as expressões numéricas, em primeiro lugar os parênteses ( ), depois os colchetes [ ], e por fim as chaves { }.

Exemplo

24 + 12 ÷ 4

Solução ERRADA!

24 + 12 igual a 36 dividido por 4 é igual 9.

Solução CORRETA!

Aplicando a Regra da Hierarquia Natural, primeiro realizamos 12 dividido por 4, que é igual a 3 que, somando-se a 24, teremos o resultado 27. Entretanto, se eu quero quebrar a Hierarquia Natural, uso as chaves, colchetes e parênteses, ficando assim:

(24 + 12) ÷ 4

Obrigatoriamente tenho que resolver o que está dentro dos parênteses, cujo resultado será 36 que, em seguida, será dividido por 4 e obteremos 9.

Exercícios Resolvidos

1) Calcular o valor da expressão: (1 – 3) . (– 2 + 7) + 40 ÷ (– 8 – 2)

1º Efetuam-se as operações dentro dos parênteses: (–2) . (+5) + 40 ÷ (–10)

2º Efetuam-se as multiplicações e divisões: –10 + (– 4)

3º Finalmente efetua-se a adição: – 14

2) Calcular o valor da expressão:

10 + { - 2 + [ 10 . (- 4 + 2 ) ] + [ 10 : ( 5 - 3 ) - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ 10 . (- 2 ) ] + [ 10 : ( + 2 ) - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + [ + 5 - 8 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + [ - 3 ] . (- 6) }
10 + { - 2 + [ - 20 ] + (+ 18 ) }
10 + { - 22 + 18 }
10 + { - 4 }
10 - 4
6

ESPERO QUE TENHA SIDO PROVEITOSO! BONS ESTUDOS!

Fonte: www.unimesvirtual.br

QUEM SOU EU

Olá pessoal! Sou Bacharel em Administração de Empresas, Licenciada em Matemática com Pós Graduações em Matemática Financeira e Docência do Ensino Superior. Criei este blog com  o objetivo de auxiliar as pessoas que tem dificuldades na aprendizagem em Matemática. Espero poder contribuir com o seu aprendizado e esclarecer dúvidas que possam surgir no seu dia a dia. Bons estudos!